آزمون نسبت درست نمایی ( Likelihood Ratio test )

آزمون نسبت درست‌نمایی (Likelihood Ratio Test یا LRT) یک روش آماری برای مقایسه دو مدل است که معمولاً برای بررسی اینکه آیا یک مدل پیچیده‌تر به طور معنی‌داری بهتر از یک مدل ساده‌تر است، استفاده می‌شود. این آزمون بر اساس نسبت درست‌نمایی (Likelihood Ratio) بین دو مدل انجام می‌شود.

مراحل انجام آزمون نسبت درست‌نمایی:

1. تعریف مدل‌ها:
   • مدل ساده (مدل محدود یا Null Model): مدلی که پارامترهای کمتری دارد و معمولاً تحت فرضیه صفر (H₀) قرار می‌گیرد.
   • مدل پیچیده (مدل کامل یا Alternative Model): مدلی که پارامترهای بیشتری دارد و تحت فرضیه جایگزین (H₁) قرار می‌گیرد.
2. محاسبه درست‌نمایی:
   • درست‌نمایی (Likelihood) هر دو مدل را محاسبه کنید. درست‌نمایی مقدار تابع درست‌نمایی برای داده‌های مشاهده‌شده تحت پارامترهای برآورد شده مدل است.
3. محاسبه نسبت درست‌نمایی:
   • نسبت درست‌نمایی (Likelihood Ratio) به صورت زیر محاسبه می‌شود:𝜆=𝐿(𝜃^0)𝐿(𝜃^1)λ=L(θ^1​)L(θ^0​)​که در آن:
     • 𝐿(𝜃^0)L(θ^0​) درست‌نمایی مدل ساده (تحت فرضیه صفر) است.
     • 𝐿(𝜃^1)L(θ^1​) درست‌نمایی مدل پیچیده (تحت فرضیه جایگزین) است.
4. محاسبه آماره آزمون:
   • آماره آزمون نسبت درست‌نمایی (LR statistic) به صورت زیر محاسبه می‌شود:LR=−2ln⁡(𝜆)LR=−2ln(λ)این آماره تحت فرضیه صفر، تقریباً از توزیع کای‌دو (Chi-squared distribution) با درجات آزادی برابر با تفاوت در تعداد پارامترهای دو مدل پیروی می‌کند.
5. تعیین سطح معنی‌داری و تصمیم‌گیری:
   • مقدار بحرانی را از جدول توزیع کای‌دو با درجات آزادی مناسب و سطح معنی‌داری انتخاب شده (معمولاً 0.05) پیدا کنید.
   • اگر آماره آزمون (LR) بزرگ‌تر از مقدار بحرانی باشد، فرضیه صفر رد می‌شود و نتیجه می‌گیریم که مدل پیچیده‌تر به طور معنی‌داری بهتر از مدل ساده‌تر است. در غیر این صورت، فرضیه صفر رد نمی‌شود.

مثال:

فرض کنید می‌خواهید بررسی کنید که آیا افزودن یک متغیر مستقل جدید به مدل رگرسیون لجستیک، بهبود معنی‌داری در مدل ایجاد می‌کند.

• مدل ساده (H₀): مدل رگرسیون لجستیک بدون متغیر جدید.
• مدل پیچیده (H₁): مدل رگرسیون لجستیک با متغیر جدید.

با استفاده از آزمون نسبت درست‌نمایی، می‌توانید تعیین کنید که آیا افزودن متغیر جدید به مدل، بهبود معنی‌داری در پیش‌بینی ایجاد می‌کند یا خیر.

نکات مهم:

• آزمون نسبت درست‌نمایی برای مدل‌های تو در تو (Nested Models) استفاده می‌شود، یعنی مدل ساده باید یک حالت خاص از مدل پیچیده باشد.
• اگر مدل‌ها تو در تو نباشند، باید از روش‌های دیگر مانند آزمون AIC یا BIC استفاده کرد.

این آزمون یکی از ابزارهای قدرتمند در آمار است و در بسیاری از زمینه‌ها مانند اقتصادسنجی، زیست‌آمار و یادگیری ماشین کاربرد دارد.

آزمون کای‌دو (Chi-Square Test)

چند وب سایت مهم برای مرور ادبیات علمی (مبانی نظری و پژوهشی متغیرها)

تحلیل فرایندی (Process Analysis)

تحلیل واریانس (ANOVA) چیست؟

رگرسیون چندگانه (Multiple Regression)