توزیع احتمال دو جمله‌ای (Binomial Distribution)
توزیع احتمال دو جمله‌ای (Binomial Distribution) یکی از توزیع‌های گسسته است که برای مدل‌سازی تعداد موفقیت‌ها در یک سری آزمایش‌های مستقل و هم‌شرایط استفاده می‌شود. به طور خاص، این توزیع برای شرایط زیر مناسب است:
شرایط توزیع دو جمله‌ای:
- تعداد آزمایش‌ها (n): تعداد کل آزمایش‌ها یا تکرارهایی که انجام می‌شود، ثابت و معین است.
- دو نتیجه ممکن: هر آزمایش تنها دو نتیجه ممکن دارد: موفقیت (معمولاً با علامت “1” نشان داده می‌شود) و شکست (معمولاً با علامت “0” نشان داده می‌شود).
- احتمال موفقیت (p): احتمال موفقیت در هر آزمایش ثابت است و برابر p است.
- آزمایش‌های مستقل: نتایج هر آزمایش مستقل از یکدیگر هستند.
تابع احتمال
تابع احتمال توزیع دو جمله‌ای به صورت زیر تعریف می‌شود:
𝑃(𝑋=𝑘)=(𝑛𝑘)𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘
که در آن:
- 𝑃(𝑋=𝑘): احتمال وقوع k موفقیت در n آزمایش
- (𝑛𝑘): ترکیب (Combination) n بر k است که به صورت زیر محاسبه می‌شود:(𝑛𝑘)=𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!
- 𝑝: احتمال موفقیت در یک آزمایش
- (1−𝑝): احتمال شکست در یک آزمایش
ویژگی‌های توزیع دو جمله‌ای
- میانگین: 𝜇=𝑛⋅𝑝
- واریانس: 𝜎2=𝑛⋅𝑝⋅(1−𝑝)
مثال
فرض کنید یک سکه ناعادلانه را 10 بار پرتاب می‌کنیم و احتمال اینکه سکه به سمت “سکه” بیفتد 0.6 باشد. اگر بخواهیم احتمال اینکه سکه 7 بار به سمت “سکه” بیفتد را محاسبه کنیم، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
- 𝑛=10
- 𝑘=7
- 𝑝=0.6
محاسبه احتمال:
𝑃(𝑋=7)=(107)(0.6)7(0.4)3
که با محاسبات می‌توان به نتیجه نهایی دست یافت.
کاربردها
توزیع دو جمله‌ای در زمینه‌های مختلفی مانند:
- آزمون‌های پزشکی (موفقیت یا عدم موفقیت یک دارو)
- آزمایشات کیفیت در تولید (موفقیت در تولید محصولات با کیفیت)
- نظرسنجی‌ها (موفقیت در جلب نظر مثبت)
