توزیع برنولی (Bernoulli Distribution)
توزیع برنولی (Bernoulli Distribution) یکی از ساده‌ترین و اساسی‌ترین توزیع‌های در نظریه احتمال و آمار است. این توزیع به توصیف یک آزمایش یا رویداد دو حالته می‌پردازد که در آن تنها دو نتیجه ممکن وجود دارد: موفقیت (که معمولاً با ۱ نشان داده می‌شود) و شکست (که معمولاً با ۰ نشان داده می‌شود).
۱. تعریف توزیع برنولی
توزیع برنولی یک متغیر تصادفی 𝑋 را مدل می‌کند که می‌تواند یکی از دو مقدار زیر را بگیرد:
- 𝑋=1: موفقیت (با احتمال 𝑝)
- 𝑋=0: شکست (با احتمال 1−𝑝)
در اینجا:
- 𝑝: احتمال وقوع موفقیت (که 0≤𝑝≤1 است).
۲. تابع چگالی احتمال
تابع چگالی احتمال (Probability Mass Function) برای توزیع برنولی به صورت زیر است:
𝑃(𝑋=𝑥)=𝑝𝑥(1−𝑝)1−𝑥
که در آن:
- 𝑥 می‌تواند ۰ یا ۱ باشد.
- اگر 𝑥=1: 𝑃(𝑋=1)=𝑝
- اگر 𝑥=0: 𝑃(𝑋=0)=1−𝑝
۳. ویژگی‌ها
توزیع برنولی دارای چندین ویژگی مهم است:
- میانگین (Expected Value):
𝐸(𝑋)=𝑝
- واریانس (Variance):
𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝑝(1−𝑝)
۴. کاربردها
توزیع برنولی در بسیاری از زمینه‌ها کاربرد دارد، از جمله:
- آزمایشات بالینی: برای مدل‌سازی نتایج درمان (موفقیت یا شکست).
- تحقیقات اجتماعی: برای بررسی پاسخ‌ها در نظرسنجی‌ها (مثلاً “آیا شما از یک محصول راضی هستید؟”).
- تحلیل کیفیت: برای بررسی کیفیت تولید (محصول معیوب یا غیر معیوب).
۵. مثال
فرض کنید یک سکه ناعادلانه را پرتاب می‌کنیم که احتمال شیر (موفقیت) برابر با ۰.6 و احتمال خط (شکست) برابر با ۰.4 دارد. در این حالت، توزیع برنولی برای این سکه به صورت زیر خواهد بود:
- 𝑃(𝑋=1)=0.6 (شیر)
- 𝑃(𝑋=0)=0.4 (خط)
۶. نتیجه‌گیری
توزیع برنولی ساده‌ترین نوع توزیع احتمال است و پایه‌ای برای بسیاری از توزیع‌های پیچیده‌تر مانند توزیع دوجمله‌ای (Binomial Distribution) و توزیع‌های دیگر است.
خواهشمند است، نظر خودتان را در پایان نوشته در سایت https://rava20.ir مرقوم نمایید. همین نظرات و پیشنهاد های شما باعث پیشرفت سایت می گردد. با تشکر
پیشنهاد می شود مطالب زیر را هم در سایت روا 20 مطالعه نمایید:
آزمون تحلیل واریانس چیست؟ Analysis of Variance test
این ادویه همه فن حریف آسپیرین گیاهی برای جلوگیری از لخته شدن عروق خونی است
ین نوشیدنی قند خون را کنترل، سموم بدن را دفع، نقرس را درمان می کند
تفسیر ضریب همبستگی پیرسون و شرایط استفاده از آن چیست؟
درود بر شما کاربر محترم و بزرگوار، به عرض می رساند امروزه هزینه های نگهداری و ارتقای سایت بالا می باشد، لذا جهت ادامه فعالیت مجبور شدیم در بعضی از جاها تبلیغ بگذاریم. لطفاً با کلیک بر روی لینک های زیر از ما حمایت کنید تا بتوانیم خدمات بهتری ارائه دهیم. مطمئن باشد هیچ مشکلی برای شما پیش نخواهد آمد. با تشکر. ،