انحراف معیار چیست؟ (Standard Deviation) 

انحراف معیار چیست؟

انحراف معیار (Standard Deviation) یکی از مهم‌ترین شاخص‌های آماری است که برای اندازه‌گیری میزان پراکندگی یا پراکنده‌بودن داده‌ها حول میانگین استفاده می‌شود. انحراف معیار نشان می‌دهد که داده‌ها چقدر از میانگین فاصله دارند. هرچه انحراف معیار بزرگ‌تر باشد، پراکندگی داده‌ها بیشتر است و هرچه کوچک‌تر باشد، داده‌ها به میانگین نزدیک‌تر هستند.

---

مفاهیم کلیدی:

1. پراکندگی (Dispersion):
   • انحراف معیار نشان‌دهنده میزان پراکندگی داده‌ها حول میانگین است.
2. واریانس (Variance):
   • واریانس میانگین مربعات فاصله هر داده از میانگین است. انحراف معیار جذر واریانس است.
3. واحد اندازه‌گیری:
   • انحراف معیار هم‌واحد با داده‌ها است (برخلاف واریانس که واحد آن مربع واحد داده‌ها است).

---

فرمول محاسبه انحراف معیار:

انحراف معیار برای یک جامعه آماری و یک نمونه آماری به صورت زیر محاسبه می‌شود:

انحراف معیار جامعه (σ):

𝜎=∑𝑖=1𝑁(𝑥𝑖−𝜇)2𝑁σ=N∑i=1N​(xi​−μ)2​​

• 𝑥𝑖xi​: مقدار هر داده.
• 𝜇μ: میانگین جامعه.
• 𝑁N: تعداد داده‌ها در جامعه.

انحراف معیار نمونه (s):

𝑠=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖−𝑥ˉ)2𝑛−1s=n−1∑i=1n​(xi​−xˉ)2​​

• 𝑥𝑖xi​: مقدار هر داده.
• 𝑥ˉxˉ: میانگین نمونه.
• 𝑛n: تعداد داده‌ها در نمونه.

---

مراحل محاسبه انحراف معیار:

1. محاسبه میانگین:
   • میانگین داده‌ها را محاسبه کنید.
2. محاسبه فاصله هر داده از میانگین:
   • تفاوت هر داده با میانگین را محاسبه کنید.
3. محاسبه مربع فواصل:
   • مربع هر یک از فواصل را محاسبه کنید.
4. محاسبه واریانس:
   • میانگین مربعات فواصل را محاسبه کنید.
5. محاسبه انحراف معیار:
   • جذر واریانس را محاسبه کنید.

---

مثال کاربردی:

فرض کنید داده‌های زیر را داریم:

2,4,4,4,5,5,7,92,4,4,4,5,5,7,9

1. محاسبه میانگین:𝑥ˉ=2+4+4+4+5+5+7+98=408=5xˉ=82+4+4+4+5+5+7+9​=840​=5
2. محاسبه فاصله هر داده از میانگین:(2−5),(4−5),(4−5),(4−5),(5−5),(5−5),(7−5),(9−5)(2−5),(4−5),(4−5),(4−5),(5−5),(5−5),(7−5),(9−5)−3,−1,−1,−1,0,0,2,4−3,−1,−1,−1,0,0,2,4
3. محاسبه مربع فواصل:(−3)2,(−1)2,(−1)2,(−1)2,02,02,22,42(−3)2,(−1)2,(−1)2,(−1)2,02,02,22,429,1,1,1,0,0,4,169,1,1,1,0,0,4,16
4. محاسبه واریانس:𝑠2=9+1+1+1+0+0+4+168−1=327≈4.57s2=8−19+1+1+1+0+0+4+16​=732​≈4.57
5. محاسبه انحراف معیار:𝑠=4.57≈2.14s=4.57​≈2.14

---

مزایای انحراف معیار:

1. استفاده از تمام داده‌ها:
   • انحراف معیار از تمام داده‌ها برای محاسبه استفاده می‌کند.
2. قابلیت تفسیر آسان:
   • واحد آن هم‌واحد با داده‌ها است و به راحتی قابل تفسیر است.
3. کاربرد گسترده:
   • در تحلیل‌های آماری، اقتصاد، علوم اجتماعی و مهندسی کاربرد دارد.

---

معایب انحراف معیار:

1. تأثیرپذیری از داده‌های پرت:
   • انحراف معیار تحت تأثیر داده‌های پرت قرار می‌گیرد.
2. نیاز به توزیع نرمال:
   • برای داده‌هایی که توزیع نرمال ندارند، ممکن است تفسیر آن دشوار باشد.

---

تفاوت انحراف معیار با انحراف چارکی:

ویژگی	انحراف معیار (SD)	انحراف چارکی (QD)
تأثیر داده‌های پرت	تحت تأثیر قرار می‌گیرد	مقاوم است
توزیع داده‌ها	مناسب برای توزیع نرمال	مناسب برای توزیع‌های نامتقارن
محاسبه	بر اساس میانگین و واریانس	بر اساس چارک‌ها
استفاده از داده‌ها	از تمام داده‌ها استفاده می‌کند	فقط از چارک اول و سوم استفاده می‌کند

---

نتیجه‌گیری:

انحراف معیار یک شاخص کلیدی برای اندازه‌گیری پراکندگی داده‌ها حول میانگین است و به‌طور گسترده در تحلیل‌های آماری استفاده می‌شود. این شاخص برای داده‌هایی که توزیع نرمال دارند، بسیار مناسب است، اما در صورت وجود داده‌های پرت یا توزیع‌های نامتقارن، ممکن است نیاز به استفاده از شاخص‌های دیگر مانند انحراف چارکی باشد.

خواهشمند است، نظر خودتان را در پایان نوشته در سایت https://rava20.ir مرقوم نمایید. همین نظرات و پیشنهاد های شما باعث پیشرفت سایت می گردد. با تشکر 

پیشنهاد می شود مطالب زیر را هم در سایت روا 20 مطالعه نمایید:

زمان لمباردی چیست؟

ویژگی های شخصیتی افراد برونگرا و درونگرا

استفاده از یک گیاه معجزه‌آسا برای درمان فشار خون، قند خون، کبد و تقویت بینایی

فرسودگی شغلی چیست؟

تحلیل واریانس (ANOVA) چیست؟

 

جهت عضویت در کانال تلگرام سایت کلیک کنید.