آزمون های تی ( t-test ) و معادل ناپارامتریک آن ها: راهنمای جامع انتخاب، اجرا و تفسیر

آیا می‌دانید چه زمانی باید از آزمون تی استفاده کنید و چه موقع سراغ من-ویتنی یا ویلکاکسون بروید؟ انتخاب اشتباه بین این آزمون‌ها، یکی از رایج‌ترین دلایل رد مقاله در مجلات معتبر است. در این راهنمای جامع، تمام آزمون‌های تی و معادل‌های ناپارامتریک آنها را با جدول مقایسه، مثال‌های واقعی و درخت تصمیم‌گیری بررسی می‌کنیم.

---

🔍 آزمون تی و معادل ناپارامتریک چیست؟

آزمون‌های تی (t-tests) خانواده‌ای از آزمون‌های پارامتریک هستند که میانگین یک یا دو گروه را مقایسه می‌کنند. معادل‌های ناپارامتریک آنها، مانند من-ویتنی و ویلکاکسون، میانه یا رتبه داده‌ها را بدون نیاز به نرمال بودن مقایسه می‌کنند.

انتخاب صحیح بین این دو، اعتبار آماری پژوهش شما را تضمین می‌کند.

---

📊 دسته‌بندی کامل آزمون‌های تی و معادل ناپارامتریک

نوع مقایسه	آزمون پارامتریک (تی)	آزمون ناپارامتریک معادل	پیش‌فرض اصلی آزمون تی
یک گروه با مقدار ثابت	One-Sample t-test	• Wilcoxon Signed-Rank (اولویت) • Sign Test (جایگزین)	نرمال بودن داده‌ها
دو گروه مستقل	Independent Samples t-test	• Mann-Whitney U (Wilcoxon Rank-Sum) • Kolmogorov-Smirnov	نرمال بودن + همگنی واریانس
دو گروه وابسته (جفتی)	Paired Samples t-test	• Wilcoxon Signed-Rank • Sign Test	نرمال بودن تفاوت جفت‌ها

---

✅ آزمون تی تک‌نمونه‌ای (One-Sample t-test)

🔵 آزمون پارامتریک: تی تک‌نمونه‌ای

کاربرد: مقایسه میانگین یک گروه با یک عدد ثابت یا هنجار جامعه.

مثال واقعی: آیا میانگین نمرات درس روش تحقیق دانشجویان روانشناسی (68 نفر) با میانگین فرضی 75 تفاوت معناداری دارد؟

پیش‌فرض‌های حیاتی:

• متغیر وابسته در سطح فاصله‌ای یا نسبی باشد.
• داده‌ها نرمال باشند.
• مشاهدات مستقل باشند.
• پرت تأثیرگذار وجود نداشته باشد.

فرمول:
$𝑡=\frac{\overline{𝑥}-{𝜇}_0}{𝑠\mathrm{/}\sqrt{𝑛}}$t=s/n​xˉ−μ0​​

درجه آزادی: df = n – 1

🟢 معادل ناپارامتریک: آزمون ویلکاکسون تک‌نمونه‌ای

کاربرد: مقایسه میانه یک گروه با یک مقدار ثابت.

زمان استفاده:

• داده‌ها نرمال نیستند.
• حجم نمونه کوچک است (کمتر از 30).
• داده‌ها در سطح رتبه‌ای هستند.

پیش‌فرض: توزیع تفاوت‌ها باید متقارن حول میانه باشد.

🔴 جایگزین ضعیف‌تر: آزمون علامت (Sign Test)

مکانیسم: فقط جهت مثبت یا منفی بودن داده‌ها را شمارش می‌کند.

⚠️ هشدار: این آزمون اندازه تفاوت‌ها را نادیده می‌گیرد. در نتیجه توان آماری بسیار پایینی دارد. فقط زمانی استفاده کنید که توزیع تفاوت‌ها به شدت نامتقارن باشد.

---

✅ آزمون تی دو گروه مستقل (Independent Samples t-test)

🔵 آزمون پارامتریک: تی مستقل

کاربرد: مقایسه میانگین دو گروه کاملاً مجزا.

مثال واقعی: آیا میانگین فشار خون در گروه داروی جدید با گروه دارونما تفاوت معناداری دارد؟

پیش‌فرض‌های حیاتی:

پیش‌فرض	روش بررسی	راهکار در صورت نقض
نرمال بودن	شاپیرو-ویلک یا کولموگروف-اسمیرنوف	استفاده از من-ویتنی
همگنی واریانس‌ها	آزمون لون (Levene)	تی ولش یا من-ویتنی
استقلال مشاهدات	طراحی مطالعه	—
عدم وجود پرت	نمودار جعبه‌ای (Boxplot)	تبدیل داده یا آزمون ناپارامتریک

فرمول (حالت استاندارد):
$𝑡=\frac{{\overline{𝑥}}_1-{\overline{𝑥}}_2}{\sqrt{\frac{{𝑠}_1^2}{{𝑛}_1}+\frac{{𝑠}_2^2}{{𝑛}_2}}}$t=n1​s12​​+n2​s22​​​xˉ1​−xˉ2​​

فرمول درجه آزادی (تقریب ولش برای واریانس ناهمگن):
$𝑑𝑓=\frac{(\frac{{𝑠}_1^2}{{𝑛}_1}+\frac{{𝑠}_2^2}{{𝑛}_2}{)}^2}{\frac{(\frac{{𝑠}_1^2}{{𝑛}_1}{)}^2}{{𝑛}_1-1}+\frac{(\frac{{𝑠}_2^2}{{𝑛}_2}{)}^2}{{𝑛}_2-1}}$df=n1​−1(n1​s12​​)2​+n2​−1(n2​s22​​)2​(n1​s12​​+n2​s22​​)2​

🟢 معادل ناپارامتریک: آزمون من-ویتنی یو (Mann-Whitney U)

کاربرد: مقایسه توزیع یا میانه دو گروه مستقل.

مکانیسم محاسبه گام‌به‌گام:

1. تمام داده‌های دو گروه را با هم ترکیب کنید.
2. به همه داده‌ها رتبه بدهید (از کوچک به بزرگ).
3. مجموع رتبه‌های هر گروه را محاسبه کنید (R₁ و R₂).
4. آماره U را محاسبه کنید:

${𝑈}_1={𝑛}_1{𝑛}_2+\frac{{𝑛}_1({𝑛}_1+1)}{2}-{𝑅}_1$U1​=n1​n2​+2n1​(n1​+1)​−R1​
${𝑈}_2={𝑛}_1{𝑛}_2+\frac{{𝑛}_2({𝑛}_2+1)}{2}-{𝑅}_2$U2​=n1​n2​+2n2​(n2​+1)​−R2​

5. آماره نهایی: U = min(U₁, U₂)

پیش‌فرض‌های کلیدی من-ویتنی:

• متغیر وابسته حداقل در سطح رتبه‌ای باشد.
• دو نمونه مستقل و تصادفی باشند.
• توزیع دو گروه باید شکل مشابهی داشته باشند (فقط از نظر موقعیت جابجا شده باشند).

⚠️ هشدار بسیار مهم: اگر توزیع دو گروه شکل متفاوتی داشته باشد، آزمون من-ویتنی صرفاً می‌گوید «توزیع‌ها متفاوت هستند» و نمی‌توان نتیجه گرفت که میانه‌ها متفاوت هستند.

🟡 معادل دیگر: آزمون کولموگروف-اسمیرنوف دو نمونه‌ای

این آزمون نسبت به من-ویتنی به شکل توزیع حساستر است، اما توان آماری کمتری دارد.

---

✅ آزمون تی جفتی (Paired Samples t-test)

🔵 آزمون پارامتریک: تی جفتی

کاربرد: مقایسه میانگین دو اندازه‌گیری وابسته (قبل-بعد، چپ-راست، همسان‌سازی شده).

مثال واقعی: آیا نمرات اضطراب بیماران قبل و بعد از 10 جلسه رفتاردرمانی شناختی تفاوت معناداری دارد؟

پیش‌فرض حیاتی: تفاوت جفت‌ها باید نرمال باشد. (نه خود داده‌ها!)

فرمول:
$𝑡=\frac{\overline{𝑑}}{{𝑠}_{𝑑}\mathrm{/}\sqrt{𝑛}}$t=sd​/n​dˉ​

$\bar{d}$ = میانگین تفاوت‌ها
$s_d$ = انحراف معیار تفاوت‌ها
$n$ = تعداد جفت‌ها

🟢 معادل ناپارامتریک: آزمون ویلکاکسون جفتی (Wilcoxon Signed-Rank)

کاربرد: مقایسه میانه تفاوت‌ها در دو گروه وابسته.

مکانیسم محاسبه:

1. تفاوت هر جفت را محاسبه کنید (dᵢ = yᵢ – xᵢ).
2. قدر مطلق تفاوت‌ها را رتبه‌بندی کنید.
3. رتبه‌ها را بر اساس علامت مثبت یا منفی تفاوت جدا کنید.
4. آماره V = مجموع رتبه‌های مثبت (یا منفی).

پیش‌فرض: توزیع تفاوت‌ها باید متقارن حول میانه باشد.

🔴 جایگزین ضعیف: آزمون علامت جفتی (Paired Sign Test)

تنها مزیت: زمانی که توزیع تفاوت‌ها به شدت نامتقارن است و شرط تقارن ویلکاکسون نقض شده، این آزمون قابل استفاده است.

عیب بزرگ: توان آماری بسیار پایین.

---

📋 جدول مقایسه جامع آزمون تی و معادل ناپارامتریک

معیار مقایسه	آزمون تی	آزمون من-ویتنی / ویلکاکسون
شاخص مرکزی	میانگین	میانه یا توزیع
سطح اندازه‌گیری	فاصله‌ای/نسبی (الزامی)	رتبه‌ای/فاصله‌ای/نسبی
پیش‌فرض نرمال بودن	✅ الزامی	❌ نیازی نیست
پیش‌فرض همگنی واریانس	✅ الزامی (جز تی ولش)	❌ نیازی نیست
حساسیت به پرت	بسیار بالا	پایین
توان آماری (در حالت نرمال)	بالاتر	~95% آزمون تی
حجم نمونه ایده‌آل	>30	<30 یا داده غیرنرمال
حداقل P-value ممکن	پیوسته (هر مقداری)	گسسته (دارای حداقل)
خروجی اصلی	t، df، p-value	U یا V، p-value
اندازه اثر	Cohen’s d	r = Z/√N یا Probabilistic Index

---

⚠️ تله‌های آماری که باید جدی بگیرید!

🎯 تله ۱: آزمون من-ویتنی با توزیع‌های نامشابه

اگر توزیع دو گروه شکل متفاوتی داشته باشد:

• ❌ نمی‌گوییم: «میانه گروه A بزرگتر از گروه B است».
• ✅ می‌گوییم: «توزیع نمرات در گروه A به طور معناداری متفاوت از گروه B است».

🎯 تله ۲: حداقل P-value در نمونه‌های کوچک

برای دو نمونه با حجم‌های 4 و 3، آزمون من-ویتنی نمی‌تواند p-value کمتر از 0.057 تولید کند!

یعنی حتی اگر تفاوت فاحش باشد، در سطح 0.05 معنادار نمی‌شود.

راه‌حل: حجم نمونه را افزایش دهید یا از آزمون‌های دقیق (Exact Tests) استفاده کنید.

🎯 تله ۳: ویلکاکسون با توزیع نامتقارن

اگر توزیع تفاوت‌ها در آزمون ویلکاکسون جفتی نامتقارن باشد، نتایج گمراه‌کننده خواهد بود.

راه‌حل: از آزمون علامت استفاده کنید یا داده‌ها را تبدیل نمایید.

🎯 تله ۴: تعدیل برای مقایسه‌های متعدد

اگر بعد از ANOVA یا کروسکال-والیس، چندین آزمون من-ویتنی انجام می‌دهید، حتماً تصحیح بونفرونی یا سایر روش‌های تعدیل را اعمال کنید.

---

🧭 درخت تصمیم‌گیری: آزمون تی یا ناپارامتریک؟

textCopyDownload

آیا داده‌ها فاصله‌ای/نسبی هستند؟
├── ❌ خیر (رتبه‌ای هستند) → آزمون ناپارامتریک
└── ✅ بله → سوال بعد

آیا حجم نمونه >30 است؟
├── ❌ خیر → بررسی نرمال بودن
└── ✅ بله → آزمون تی (طبق قضیه حد مرکزی)

آیا توزیع داده‌ها نرمال است؟
├── ✅ بله → آزمون تی
└── ❌ خیر → آزمون ناپارامتریک

آیا پرت تأثیرگذار وجود دارد؟
├── ✅ بله → آزمون ناپارامتریک
└── ❌ خیر → آزمون تی (در صورت نرمال بودن)

آیا واریانس‌ها همگن هستند؟ (فقط دو گروه مستقل)
├── ✅ بله → آزمون تی مستقل استاندارد
└── ❌ خیر → تی ولش یا من-ویتنی

---

💡 نکات طلایی برای گزارش نتایج در مقاله

✅ گزارش صحیح آزمون تی مستقل:

میانگین نمرات در گروه آزمایش (M=78.45, SD=6.32) به طور معناداری بیشتر از گروه کنترل (M=68.23, SD=7.11) بود؛ t(58)=4.23, p=0.001, d=0.89.

✅ گزارش صحیح آزمون من-ویتنی:

نتایج آزمون من-ویتنی نشان داد که رضایت بیماران در بیمارستان A (Mean Rank=34.7) به طور معناداری بیشتر از بیمارستان B (Mean Rank=21.3) است؛ U=112.5, Z=-3.45, p=0.001, r=0.42.

✅ گزارش صحیح آزمون تی جفتی:

میانگین اضطراب پس از درمان (M=34.2, SD=6.8) در مقایسه با پیش‌آزمون (M=52.7, SD=8.3) کاهش معناداری نشان داد؛ t(29)=8.67, p<0.001, d=1.58.

✅ گزارش صحیح آزمون ویلکاکسون جفتی:

آزمون ویلکاکسون نشان داد که میانه نمرات افسردگی پس از مداخله (Mdn=12) به طور معناداری کمتر از پیش‌آزمون (Mdn=24) است؛ V=23.5, p=0.002, r=0.53.

---

🎯 سناریوهای بالینی و پژوهشی

سناریوی ۱: مقایسه فشار خون دو گروه دارو و دارونما

• داده‌ها: نرمال، واریانس‌ها برابر
• انتخاب درست: Independent Samples t-test
• دلیل: پیش‌فرض‌ها برقرار و آزمون تی توان بالاتری دارد.

سناریوی ۲: مقایسه رضایت بیماران (لیکرت ۷ درجه)

• داده‌ها: رتبه‌ای، توزیع نامشخص
• انتخاب درست: Mann-Whitney U Test
• دلیل: داده‌ها فاصله‌ای نیستند.

سناریوی ۳: تأثیر مداخله آموزشی بر اضطراب (قبل-بعد)

• داده‌ها: تفاوت نمرات نرمال نیست، پرت وجود دارد
• انتخاب درست: Wilcoxon Signed-Rank Test
• دلیل: به پرت حساس نیست و از رتبه‌ها استفاده می‌کند.

سناریوی ۴: مقایسه نمرات هوش ۱۰ کودک با میانگین جامعه

• داده‌ها: حجم نمونه بسیار کوچک
• انتخاب درست: One-Sample Wilcoxon Signed-Rank Test
• دلیل: برای n=10 نمی‌توان به نرمال بودن اطمینان کرد.

---

📝 خلاصه: قانون ۳۰ ثانیه‌ای انتخاب آزمون

اگر…	پس آزمون مناسب…
داده‌ها نرمال هستند + حجم نمونه کافی است	آزمون تی
داده‌ها نرمال نیستند + حجم نمونه کوچک است	معادل ناپارامتریک
داده‌ها رتبه‌ای هستند	معادل ناپارامتریک
پرت‌های تأثیرگذار وجود دارد	معادل ناپارامتریک
واریانس‌ها ناهمگن هستند (دو گروه)	تی ولش یا من-ویتنی
می‌خواهم میانگین را مقایسه کنم	آزمون تی
می‌خواهم میانه را مقایسه کنم	معادل ناپارامتریک

---

❓ سؤالات متداول (FAQ)

سؤال ۱: آیا با حجم نمونه ۲۰۰، باز هم نیاز به بررسی نرمال بودن دارم؟

خیر. طبق قضیه حد مرکزی، با حجم نمونه بالای ۳۰، توزیع میانگین‌ها نرمال می‌شود و می‌توانید از آزمون تی استفاده کنید.

سؤال ۲: چرا نتایج آزمون تی و من-ویتنی گاهی متفاوت می‌شوند؟

زیرا آزمون تی میانگین را مقایسه می‌کند و من-ویتنی میانه یا توزیع را. اگر توزیع داده‌ها چوله باشد یا پرت وجود داشته باشد، این دو می‌توانند نتایج متفاوتی بدهند.

سؤال ۳: کدام آزمون قدرتمندتر است؟

اگر پیش‌فرض‌ها برقرار باشند، آزمون تی قدرتمندتر است. اما اگر پیش‌فرض‌ها نقض شوند، آزمون ناپارامتریک اعتبار بیشتری دارد.

سؤال ۴: آیا می‌توانم هم آزمون تی و هم ناپارامتریک را انجام دهم؟

خیر. این کار باعث افزایش خطای نوع اول می‌شود. بر اساس شرایط، یکی را انتخاب و گزارش کنید.

---

🚀 جمع‌بندی نهایی

✅ آزمون تی را انتخاب کنید اگر:

• داده‌ها فاصله‌ای/نسبی و نرمال هستند.
• حجم نمونه بزرگ است (>30).
• واریانس‌ها همگن هستند (برای دو گروه مستقل).
• پرت تأثیرگذار وجود ندارد.

✅ معادل ناپارامتریک را انتخاب کنید اگر:

• داده‌ها نرمال نیستند.
• حجم نمونه کوچک است.
• داده‌ها رتبه‌ای هستند.
• پرت‌های تأثیرگذار وجود دارند.
• واریانس‌ها ناهمگن هستند.

---

💬 نظر شما چیست؟

آیا تاکنون در انتخاب بین آزمون تی و من-ویتنی دچار تردید شده‌اید؟
چه تجربه‌ای از گزارش این آزمون‌ها در مقالات دارید؟

دیدگاه‌ها و سؤالات خود را در بخش نظرات با ما و دیگر پژوهشگران به اشتراک بگذارید.
به سه نظر برتر، مشاوره رایگان تحلیل آماری هدیه داده می‌شود!

---

📞 ارتباط با تیم تخصصی راوا

🌐 وب سایت: https://rava20.ir
📱 کانال تلگرام: https://t.me/RAVA2020
🎬 کانال آموزشی آپارات: https://www.aparat.com/amoozeh20
✍️ وبلاگ تخصصی: http://abazizi.parsiblog.com/

در طراحی و تدوین پرسشنامه رعایت چه نکاتی ضروری است.

تعریف عملیاتی متغیر های پژوهش به چه صورت می باشد؟

محاسبه آن لاین اثر میانجی با آزمون های سوبل، آریون و گودمن

پرسشنامه ویژگی های معلم اثربخش درآموزش مجازی

پرسشنامه  شایستگی دیجیتال بتین و همکاران (2023)