توزیع پواسون (Poisson Distribution)
توزیع پواسون (Poisson Distribution) یک توزیع احتمال گسسته است که برای مدل‌سازی تعداد وقوع یک رویداد در یک بازه زمانی مشخص یا در یک فضای مشخص استفاده می‌شود. این توزیع به ویژه زمانی کاربرد دارد که وقوع رویدادها مستقل از یکدیگر باشد و با یک نرخ ثابت در طول زمان یا فضا اتفاق بیفتد.
ویژگی‌های توزیع پواسون:
- تعریف: تعداد وقوع رویدادها در یک بازه زمانی یا فضایی مشخص با توزیع پواسون توصیف می‌شود.
- پارامتر λ (لامبدا): پارامتر اصلی توزیع پواسون، λ (لامبدا) است که میانگین و واریانس توزیع را مشخص می‌کند. این پارامتر نشان‌دهنده نرخ وقوع رویدادها در یک بازه مشخص است.
- فرمول احتمال: احتمال وقوع دقیق k رویداد در بازه زمانی یا فضایی مشخص به صورت زیر محاسبه می‌شود:𝑃(𝑋=𝑘)=𝜆𝑘𝑒−𝜆𝑘!که در اینجا:
- 𝑃(𝑋=𝑘) احتمال وقوع k رویداد
- 𝜆 میانگین تعداد وقوع رویدادها
- 𝑒 عدد نپر (حدود 2.71828)
- 𝑘! فاکتوریل k است.
کاربردهای توزیع پواسون:
- مدل‌سازی تعداد تماس‌ها در یک مرکز تماس: تعداد تماس‌هایی که در یک ساعت به یک مرکز تماس می‌آید.
- تعداد تصادفات در یک تقاطع: تعداد تصادفاتی که در یک سال در یک تقاطع خاص روی می‌دهد.
- تحلیل صف: تعداد افرادی که به یک صف می‌پیوندند در یک بازه زمانی مشخص.
مثال:
فرض کنید که یک مرکز تماس به طور متوسط 3 تماس در هر ساعت دریافت می‌کند (λ = 3). اگر بخواهیم احتمال دریافت دقیقاً 5 تماس در یک ساعت را محاسبه کنیم، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
𝑃(𝑋=5)=35𝑒−35!
محاسبه این مقدار به ما احتمال مورد نظر را می‌دهد.
جمع‌بندی:
توزیع پواسون ابزاری قدرتمند برای مدل‌سازی وقایع گسسته است که در علوم مختلف از جمله آمار، مهندسی و اقتصاد کاربرد دارد. با درک ویژگی‌ها و نحوه محاسبه آن، می‌توان به تحلیل و پیش‌بینی رفتارهای تصادفی در سیستم‌های مختلف پرداخت.