توزیع دو جمله‌ای (Binomial Distribution) یکی از توزیع‌های مهم در آمار و احتمال است که برای مدل‌سازی تعداد موفقیت‌ها در یک سری آزمایش‌های مستقل با دو نتیجه ممکن (موفقیت یا شکست) استفاده می‌شود. در اینجا به توضیح این توزیع و ویژگی‌های آن می‌پردازیم:
تعریف توزیع دو جمله‌ای
توزیع دو جمله‌ای برای یک متغیر تصادفی 𝑋 تعریف می‌شود که نشان‌دهنده تعداد موفقیت‌ها در 𝑛 آزمایش مستقل است. هر آزمایش دو نتیجه ممکن دارد: موفقیت (با احتمال 𝑝) و شکست (با احتمال 𝑞=1−𝑝).
فرمول
تابع چگالی احتمال توزیع دو جمله‌ای به صورت زیر است:
𝑃(𝑋=𝑘)=(𝑛𝑘)𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘
که در آن:
- 𝑃(𝑋=𝑘): احتمال وقوع 𝑘 موفقیت در 𝑛 آزمایش
- (𝑛𝑘): تعداد ترکیب‌ها (تعداد راه‌هایی که می‌توان 𝑘 موفقیت را در 𝑛 آزمایش ترتیب داد)
- 𝑝: احتمال موفقیت در هر آزمایش
- 1−𝑝: احتمال شکست در هر آزمایش
- 𝑛: تعداد کل آزمایش‌ها
- 𝑘: تعداد موفقیت‌ها
ویژگی‌ها
- میانگین (Expected Value): 𝐸(𝑋)=𝑛⋅𝑝
- واریانس (Variance): 𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝑛⋅𝑝⋅(1−𝑝)
- دامنه: 𝑘 می‌تواند از 0 تا 𝑛 باشد.
کاربردها
توزیع دو جمله‌ای در بسیاری از زمینه‌ها کاربرد دارد، از جمله:
- تحلیل داده‌های آزمایشی
- مدل‌سازی نتایج در بازی‌های شانس (مثلاً پرتاب سکه)
- تحلیل کیفیت در تولیدات صنعتی
مثال
فرض کنید یک سکه عادل 10 بار پرتاب می‌شود و می‌خواهیم احتمال وقوع 4 بار شیر (موفقیت) را محاسبه کنیم. در اینجا:
- 𝑛=10
- 𝑝=0.5 (چرا که سکه عادل است)
- 𝑘=4
محاسبه احتمال:
𝑃(𝑋=4)=(104)(0.5)4(0.5)10−4=(104)(0.5)10
با محاسبه (104)=210 و (0.5)10=11024:
𝑃(𝑋=4)=210⋅11024≈0.205
این یعنی احتمال اینکه در 10 بار پرتاب، 4 بار شیر بیفتد حدود 20.5 درصد است.
روش های انتخاب افراد نمونه در پژوهش
نوشته
روش های بررسی نرمال بودن توزیع داده ها و شرایط استفاده از هر روش چیست؟
نوشته
نوشته
ارتقاء سلامت سازمانی در مدارس: اهمیت و راهکارها
نوشته
درود بر شما موارد زیر تبلیغ می باشند. لطفاً با کلیک بر روی لینک های زیر از ما حمایت کنید با تشکر. ،