توزیع تی (T-Distribution)
توزیع تی (T-Distribution) یا توزیع تی استیودنت (Student’s T-Distribution) یک توزیع احتمال پیوسته است که به‌ویژه در آمار برای تحلیل داده‌های کوچک و زمانی که واریانس جامعه نامعلوم است، کاربرد دارد. این توزیع به دلیل ویژگی‌های خاصش، به‌ویژه در آزمون‌های فرضی و برآورد پارامترها بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد.
ویژگی‌های توزیع تی:
- شکل و ویژگی‌ها:
- توزیع تی شبیه به توزیع نرمال (گاوسی) است، اما دم‌های آن ضخیم‌تر است. این بدین معناست که احتمال وقوع مقادیر دور از میانگین بیشتر است.
- هرچه درجه آزادی (df) بیشتر باشد، توزیع تی به توزیع نرمال نزدیک‌تر می‌شود.
- درجه آزادی (Degrees of Freedom):
- درجه آزادی معمولاً برابر با 𝑛−1 است، که در آن 𝑛 تعداد نمونه‌ها است. این مفهوم در آزمون‌های t و برآورد فاصله اطمینان کاربرد دارد.
- فرمول چگالی احتمال:
- تابع چگالی احتمال توزیع تی به صورت زیر است:
- Γ تابع گاما است و 𝑣 درجه آزادی است.
کاربردهای توزیع تی:
- آزمون فرضیات: توزیع تی برای آزمون‌های t استفاده می‌شود، که شامل آزمون t یک نمونه‌ای، دو نمونه‌ای و t زوجی است.
- فاصله اطمینان: در برآورد فاصله اطمینان برای میانگین‌های نمونه‌ای، به ویژه زمانی که اندازه نمونه کوچک است.
- تحلیل واریانس: در تحلیل واریانس و مقایسه میانگین‌ها از توزیع تی استفاده می‌شود.
مثال:
فرض کنید که شما می‌خواهید میانگین قد ۱۰ دانش‌آموز را بررسی کنید و اندازه نمونه شما ۱۰ نفر است. فرض کنید میانگین قد این نمونه ۱۷۵ سانتی‌متر و انحراف معیار ۱۰ سانتی‌متر است. برای محاسبه فاصله اطمینان ۹۵% برای میانگین قد، از توزیع تی استفاده می‌کنید.
- محاسبه t بحرانی با توجه به ۹ درجه آزادی (n-1) و سطح اطمینان ۹۵%.
- محاسبه فاصله اطمینان با فرمول:فاصله اطمینان=𝑥ˉ±𝑡𝛼/2⋅𝑠𝑛که در آن 𝑥ˉ میانگین نمونه، 𝑠 انحراف معیار نمونه و 𝑛 اندازه نمونه است.
جمع‌بندی:
توزیع تی یک ابزار مهم در آمار است که به تحلیل داده‌های کوچک و نامشخص کمک می‌کند. با درک ویژگی‌ها و کاربردهای آن، می‌توان به بهبود استنتاج‌های آماری و تصمیم‌گیری‌ها پرداخت.